一元二次函数是元次数学中比较基础的一类函数，其形式通常为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，函数其中 $a,求导b,c$ 均为常数，$a \eq 0$。公式在求解一些问题时，元次我们需要对这类函数进行求导。函数

一元二次函数的求导导数公式可以通过求解导数的定义式得到，也可以通过对函数的公式形式进行分析和推导得到。这里我们介绍一种基于函数的元次形式进行推导的方法。

首先，函数我们知道一元二次函数的求导导数是一个一次函数，即 $f'(x) = 2ax + b$。公式这个公式的元次推导可以分为两部分：

1. 对 $ax^2$ 求导

对于任意一个正整数 $n$，有 $(x + \\Delta x)^n = x^n + nx^{ n-1}\\Delta x + \\dots$。函数如果我们令 $n=2$，求导并忽略掉 $\\Delta x^2$ 及以上次数的项，那么就得到：

$$(x + \\Delta x)^2 = x^2 + 2x\\Delta x + (\\Delta x)^2$$

将上式代入 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 中，得到：

\\begin{ aligned}

f(x + \\Delta x) &= a(x + \\Delta x)^2 + b(x + \\Delta x) + c \\\\

&= ax^2 + 2ax\\Delta x + a(\\Delta x)^2 + bx + b\\Delta x + c

\\end{ aligned}

因此，$f'(x) = \\lim_{ \\Delta x \\to 0} \\dfrac{ f(x + \\Delta x) - f(x)}{ \\Delta x}$ 可以表示为：

\\begin{ aligned}

f'(x) &= \\lim_{ \\Delta x \\to 0} \\frac{ ax^2 + 2ax\\Delta x + a(\\Delta x)^2 + bx + b\\Delta x + c - (ax^2 + bx + c)}{ \\Delta x} \\\\

&= \\lim_{ \\Delta x \\to 0} \\frac{ 2ax\\Delta x + a(\\Delta x)^2 + b\\Delta x}{ \\Delta x} \\\\

&= \\lim_{ \\Delta x \\to 0} (2ax + a\\Delta x + b) \\\\

&= 2ax + b

\\end{ aligned}

2. 对 $bx$ 和 $c$ 求导

由于 $bx$ 和 $c$ 都是常数，它们的导数都为 $0$，因此：

$$\\frac{ d}{ dx}(bx) = 0, \\quad \\frac{ d}{ dx}(c) = 0$$

综上所述，我们得到了一元二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的导数公式：

$$f'(x) = 2ax + b$$

这个公式可以用于解决一些与一元二次函数有关的问题，例如求极值点、绘制切线等。