二阶常系数齐次线性微分方程是阶常解微积分学中的一个非常重要的主题。它的系数线性通解形式可以通过以下步骤得到。

首先，齐次假设我们有如下形式的微分二阶常系数齐次线性微分方程：

$$y''+ay'+by=0$$

其中，$a$和$b$是阶常解常数。

接下来，系数线性我们假设该微分方程的齐次解具有如下形式：

$$y=e^{ rt}$$

其中，$r$是微分待定的常数。

将解代入微分方程中，阶常解得到：

$$(r^2+ar+b)e^{ rt}=0$$

由于$e^{ rt}$不等于零，系数线性所以我们可以将其约掉。齐次因此，微分我们得到了二次方程：

$$r^2+ar+b=0$$

这个二次方程的阶常解解可以通过求根公式得到：

$$r=\\frac{ -a\\pm\\sqrt{ a^2-4b}}{ 2}$$

现在，我们来讨论两种不同的系数线性情况。

第一种情况是齐次，$a^2-4b<0$。在这种情况下，我们可以将根表示为：

$$r=-\\frac{ a}{ 2}\\pm i\\frac{ \\sqrt{ 4b-a^2}}{ 2}$$

其中，$i$是虚数单位。因此，我们可以将解表示为：

$$y=e^{ -\\frac{ a}{ 2}t}(c_1\\cos(\\frac{ \\sqrt{ 4b-a^2}}{ 2}t)+c_2\\sin(\\frac{ \\sqrt{ 4b-a^2}}{ 2}t))$$

其中，$c_1$和$c_2$是待定的常数。

第二种情况是，$a^2-4b\\geq 0$。在这种情况下，我们可以将根表示为：

$$r_1=\\frac{ -a+\\sqrt{ a^2-4b}}{ 2},r_2=\\frac{ -a-\\sqrt{ a^2-4b}}{ 2}$$

因此，我们可以将解表示为：

$$y=c_1e^{ r_1t}+c_2e^{ r_2t}$$

其中，$c_1$和$c_2$是待定的常数。

综上所述，二阶常系数齐次线性微分方程的通解可以表示为：

$$y=\\begin{ cases}e^{ -\\frac{ a}{ 2}t}(c_1\\cos(\\frac{ \\sqrt{ 4b-a^2}}{ 2}t)+c_2\\sin(\\frac{ \\sqrt{ 4b-a^2}}{ 2}t))&a^2-4b<0\\\\c_1e^{ r_1t}+c_2e^{ r_2t}&a^2-4b\\geq 0\\end{ cases}$$

其中，$c_1$和$c_2$是待定的常数，$r_1$和$r_2$分别是二次方程$r^2+ar+b=0$的两个根。

(责任编辑：探索)