直线到平面的距离公式

直线到平面的直线距离公式是在三维空间中计算直线与平面之间的最短距离的公式。这个公式在许多实际问题中都有着广泛的到平应用，比如在机械工程、距离建筑设计等领域。公式

为了推导出这个公式，直线我们需要从向量的到平角度来考虑问题。假设平面的距离法向量为 $\\vec{ n} = (a,b,c)$，其中 $a,公式b,c$ 分别表示平面在 $x,y,z$ 三个轴上的法向量分量。另外，直线设直线上的到平一点为 $P_0$，直线的距离方向向量为 $\\vec{ v} = (d,e,f)$，其中 $d,公式e,f$ 分别表示直线在 $x,y,z$ 三个轴上的方向向量分量。

可以发现，直线直线与平面的到平最短距离就是从点 $P_0$ 到平面的垂线的长度。设垂线上的距离一点为 $P$，则向量 $\\vec{ P_0P}$ 一定在平面上，即 $\\vec{ P_0P}$ 与平面的法向量 $\\vec{ n}$ 垂直，即它们的点积为零：

$$\\vec{ P_0P} \\cdot \\vec{ n} = 0$$

由于向量 $\\vec{ P_0P}$ 与直线的方向向量 $\\vec{ v}$ 平行，所以有：

$$\\vec{ P_0P} = t\\vec{ v}$$

其中 $t$ 为实数。将上述两个式子代入前面的点积式子中，可以得到：

$$t\\vec{ v} \\cdot \\vec{ n} = 0$$

解出 $t$ 可得：

$$t = -\\frac{ \\vec{ P_0P} \\cdot \\vec{ n}}{ \\vec{ v} \\cdot \\vec{ n}}$$

将 $t$ 的值代入 $\\vec{ P_0P} = t\\vec{ v}$ 中，可以得到垂线上的点 $P$：

$$\\vec{ P} = \\vec{ P_0} - \\frac{ (\\vec{ P_0} \\cdot \\vec{ n})\\vec{ n}}{ \\vec{ n} \\cdot \\vec{ n}} + \\frac{ (\\vec{ v} \\cdot \\vec{ n})\\vec{ v}}{ \\vec{ v} \\cdot \\vec{ v}}$$

最后，直线与平面的最短距离就是从点 $P_0$ 到点 $P$ 的距离，即：

$$d = |\\vec{ P_0P}| = \\left|\\vec{ P_0} - \\frac{ (\\vec{ P_0} \\cdot \\vec{ n})\\vec{ n}}{ \\vec{ n} \\cdot \\vec{ n}} + \\frac{ (\\vec{ v} \\cdot \\vec{ n})\\vec{ v}}{ \\vec{ v} \\cdot \\vec{ v}}\\right|$$

这就是直线到平面的距离公式。需要注意的是，如果分母 $\\vec{ n} \\cdot \\vec{ n}$ 或 $\\vec{ v} \\cdot \\vec{ v}$ 等于零，则无法计算距离。此外，如果 $\\vec{ v} \\cdot \\vec{ n} = 0$，即直线与平面垂直，则距离为零。

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